Q-Q Plot 與 Jarque-Bera — 你的報酬是常態嗎？

本文採用本站四段式教學結構：概念 / 本站怎麼算 / 怎麼看數字 / 注意事項。

1. 概念

很多財務教科書、風險模型、投資組合理論都預設報酬是常態分布：

Markowitz 效率前緣（常態 → 平均數 + 變異數足以描述）
Black-Scholes 選擇權定價（常態）
參數法 VaR（mean − 1.645σ）
傳統 Sharpe Ratio（假設報酬對稱）

但實證顯示：股票報酬根本不是常態。它們有兩個明顯特徵：

厚尾（Fat Tails）：極端事件（±3σ 以上）比常態預期多很多
偏態（Skewness）：左偏居多（下跌比上漲更激烈）

要實證檢驗這件事，有兩種互補工具：

工具	本質	回答
Q-Q Plot	視覺化	「點偏離 45° 線多遠？」
Jarque-Bera	統計檢定	「拒絕常態假設的 p 值？」

2. 本站怎麼算

2.1 Q-Q Plot

1. 樣本標準化：(r − mean) / σ（ddof=1）
2. 排序
3. 對第 i 個樣本（i = 0 .. n−1），取繪圖位置 p = (i + 0.5) / n
4. 理論分位數 = Φ⁻¹(p)（標準庫 statistics.NormalDist）
5. 繪製 (theoretical, sample) 散點，疊上 y = x 45° 參考線

讀法：

點完全落在 45° 綠線上 → 完全常態
尾部點偏離線（特別是 ±2σ 以上）→ 厚尾
左上或右下偏離不對稱 → 偏態
本站標紅：|樣本分位數 − 理論分位數| > 0.8 的點

為讓圖形清爽，樣本 > 60 時線性等距下採樣到 60 點。

2.2 Jarque-Bera 檢定

JB = n/6 × (skewness² + (excess_kurtosis)² / 4)

H₀: 樣本符合常態分布
H₁: 樣本非常態

JB 在 H₀ 下漸近服從 χ²(df=2)

為什麼 df=2？因為檢定兩個獨立的偏離指標：skewness、excess kurtosis。

p-value 的計算：對 df=2 的卡方分布有封閉解：

p-value = exp(−JB / 2)

我們不依賴 scipy，用這個公式直接算。

判讀閾值：

α = 0.05（JB 臨界值 = 5.991）
p ≥ 0.10 → fail_to_reject（可視為常態）
0.05 ≤ p < 0.10 → marginal
0.001 ≤ p < 0.05 → reject
p < 0.001 → strong_reject

2.3 資料源與窗口

使用過去 252 個交易日的 simple daily returns
樣本 < 60 日 → 標示 available: false（不穩定）

2.4 使用 Fisher excess kurtosis（常態 = 0）

與 v2.42 全站修正一致：不用 raw kurtosis（常態=3）。這樣 excess_kurt > 0 就直觀代表「比常態更厚尾」。

3. 怎麼看數字

3.1 Q-Q Plot 讀法（實戰最重要）

樣本點分布        意涵
─────────────────────────────────────
全落在 45° 線上   完全常態（罕見）
中段貼合、兩端上翹 厚尾（股票最常見）
中段貼合、左端下甩 左偏（下跌尾部特別肥）
全面偏離         嚴重非常態（例：槓桿 ETF）

本站紅點：標出 |theoretical − sample| > 0.8 的點，通常是尾部。紅點越多 + 越遠，厚尾/偏態越嚴重。

3.2 skewness 與 excess kurtosis 實務水準

指標	範圍	意涵
Skewness	−0.5 ~ +0.5	近乎對稱
	< −1	明顯左偏（下跌尾嚴重）
	> +1	明顯右偏（上漲尾大，少見）
Excess Kurtosis	< 1	接近常態
	1 ~ 5	一般股票典型
	> 5	嚴重厚尾（小型股、週期股崩盤史）

3.3 對決策的實務影響

若樣本拒絕常態（多數情況）：

參數法 VaR 低估風險 → 要用歷史模擬（本站做法）
Sharpe Ratio 無法完全描述風險 → 搭配 Sortino 與 CVaR
投組相關性在極端時會增加 → P0.2 的相關性矩陣在平時看不出來

若樣本接近常態（少見）：

可以相信 Sharpe + 參數法 VaR
多為流動性好的大型股、配息穩定的金融類股

4. 注意事項

⚠️ 大樣本 JB 過度敏感

當 n > 1000 時，即使樣本非常接近常態，JB 也幾乎都會拒絕。這是統計檢定的通病（大樣本下任何微小偏離都會顯著）。

對策：

看 skewness 與 excess kurtosis 的絕對值，不要只看 p-value
若 skew 在 ±0.5 內、excess kurt < 1，雖然 p 可能 < 0.05，實務上仍可視為近似常態

本站已揭露 skew 與 excess kurt 於卡片上，協助你做這個判斷。

⚠️ JB 屬於漸近檢定

JB 的卡方近似在 n 很小時不準（例如 n < 50）。本站 MIN_SAMPLE_DAYS = 60，確保大樣本近似成立。

⚠️ Q-Q Plot 的主觀性

讀 Q-Q 有一定主觀成分：

「尾部偏離多少算嚴重？」沒有標準答案
本站用 |Δ| > 0.8 作為紅點閾值，只是視覺輔助，不是正式檢定標準

Q-Q 最強的是兩個樣本比較（例如「台積電 vs 鴻海」哪個偏離更多），而非絕對判斷。

⚠️ 不適用於極端樣本

單一方向波動（只漲不跌）：Q-Q 尾部圖形會扭曲
重大結構斷點（併購、改業務）：樣本混合前後兩個分布

這時 JB 的拒絕不代表「未來也非常態」，而是「這段歷史不是同質」。

⚠️ 常態假設不是「錯」，只是「限制」

常態模型是 Markowitz / Sharpe / Black-Scholes 的基石。偏離常態不代表這些理論無用，只是要知道其限制：

極端事件時失真
對「風險」的測量保守度不足
投組最佳化可能在尾部事件崩潰

理解這點比「拒絕一切常態模型」更重要。

動手試試看

打開個股分析 → 風險，捲到「報酬常態性診斷」
觀察 Q-Q Plot 的尾部偏離與紅點數量
對照 skewness / excess kurtosis 的實際數值
比較不同類型股票：大型權值 vs 小型投機，兩者 JB 差距通常很大
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