Q-Q プロットと Jarque-Bera — リターンは正規分布か？

本記事は当サイト4 段階教育構造を採用：コンセプト / 当サイトの計算方法 / 数字の見方 / 注意事項。

1. コンセプト

多くの金融教科書、リスクモデル、ポートフォリオ理論がリターンを正規分布と仮定：

マーコウィッツ効率的フロンティア（正規 → 平均 + 分散で記述十分）
ブラック・ショールズオプション価格付け（正規）
パラメトリック VaR（mean − 1.645σ）
伝統的シャープレシオ（リターン対称仮定）

しかし実証は：株式リターンは正規分布ではない。2 つの明確な特徴：

厚い裾（Fat Tails）：極端事件（±3σ 超）が正規予想より遥かに多い
歪み（Skewness）：左に偏り（下落が上昇より激しい）

これを実証検証する 2 つの相補ツール：

ツール	本質	答え
Q-Q プロット	視覚化	「点が 45° 線からどれだけ偏離？」
Jarque-Bera	統計検定	「正規仮定棄却の p 値？」

2. 当サイトの計算方法

2.1 Q-Q プロット

1. サンプル標準化：(r − mean) / σ（ddof=1）
2. ソート
3. i 番目サンプル（i = 0..n−1）に対し描画位置 p = (i + 0.5) / n
4. 理論分位 = Φ⁻¹(p)（標準ライブラリ statistics.NormalDist）
5. (theoretical, sample) 散布図描画、y = x 45° 参照線重ね

読み方：

点が完全に 45° 緑線上 → 完全正規
裾の点が線から偏離（特に ±2σ 超）→ 厚い裾
左上 / 右下偏離が非対称 → 歪み
当サイトは赤マーク：|サンプル分位 − 理論分位| > 0.8 の点

図形をすっきりさせるため、サンプル > 60 時に線形等距離で 60 点にダウンサンプル。

2.2 Jarque-Bera 検定

JB = n/6 × (skewness² + (excess_kurtosis)² / 4)

H₀: サンプルが正規分布に従う
H₁: サンプルが非正規

H₀ 下で JB は漸近的に χ²(df=2) に従う

なぜ df=2？2 つの独立偏離指標を検定するため：skewness、excess kurtosis。

p 値の計算：df=2 の χ² 分布には閉形式解：

p-value = exp(−JB / 2)

scipy 非依存、この公式で直接計算。

判読しきい値：

α = 0.05（JB 臨界値 = 5.991）
p ≥ 0.10 → fail_to_reject（正規とみなせる）
0.05 ≤ p < 0.10 → marginal
0.001 ≤ p < 0.05 → reject
p < 0.001 → strong_reject

2.3 データソースとウィンドウ

過去 252 取引日のシンプル日次リターン使用
サンプル < 60 日 → available: false を表示（不安定）

2.4 Fisher excess kurtosis（正規 = 0）使用

v2.42 全サイト修正と一致：raw kurtosis（正規=3）使用せず。これで excess_kurt > 0 が直感的に「正規より厚い裾」を意味。

3. 数字の見方

3.1 Q-Q プロットの読み方（最実戦的）

サンプル点分布      意味
─────────────────────────────────────
全部 45° 線上       完全正規（稀）
中段密着、両端上振れ 厚い裾（株式最頻）
中段密着、左端下振れ 左歪み（下落裾特に厚い）
全面偏離           深刻な非正規（レバレッジ ETF など）

当サイトの赤点：|theoretical − sample| > 0.8 の点をマーク、通常は裾。赤点が多く、より遠いほど厚い裾 / 歪みが深刻。

3.2 skewness と excess kurtosis の実務水準

指標	範囲	意味
Skewness	−0.5〜+0.5	ほぼ対称
	< −1	明確な左歪み（下落裾深刻）
	> +1	明確な右歪み（上昇裾大、稀）
Excess Kurtosis	< 1	正規に近い
	1〜5	一般銘柄典型
	> 5	深刻な厚い裾（小型株、景気循環株崩壊史）

3.3 意思決定への実務的影響

サンプルが正規を棄却（多数ケース）：

パラメトリック VaR がリスクを過小評価 → ヒストリカルシミュレーション使用（当サイトの方法）
シャープレシオがリスク完全記述不可 → Sortino と CVaR と組み合わせ
ポートフォリオ相関は極端時に増加 → P0.2 相関行列は平時には見えない

サンプルが正規に近い（稀）：

シャープ + パラメトリック VaR を信頼可能
流動性高い大型株、配当安定の金融株が多い

4. 注意事項

⚠️ 大サンプル JB は過度に敏感

n > 1000 時、サンプルが非常に正規に近くても、JB はほぼ常に棄却。これは統計検定の通病（大サンプル下でわずかな偏離も有意になる）。

対策：

skewness と excess kurtosis の絶対値を見る、p 値だけ見ない
skew が ±0.5 内、excess kurt < 1 なら、p < 0.05 でも実務上近似正規とみなせる

当サイトはカード上に skew と excess kurt を開示、判断補助。

⚠️ JB は漸近検定

JB の χ² 近似は n が小さい時不正確（n < 50 など）。当サイトは MIN_SAMPLE_DAYS = 60、大サンプル近似成立を保証。

⚠️ Q-Q プロットの主観性

Q-Q を読むには一定の主観要素：

「裾偏離どれくらいで深刻？」標準回答なし
当サイトは |Δ| > 0.8 を赤点しきい値として使用、視覚補助のみ、正式検定基準ではない

Q-Q が最強なのは2 サンプル比較（「TSMC vs Hon Hai どちらがより偏離」など）、絶対判断ではない。

⚠️ 極端サンプルには不適

一方向変動（上昇のみ、下落なし）：Q-Q 裾図形が歪む
重大構造断点（M&A、事業変更）：サンプルが前後 2 分布混合

このとき JB の棄却＝「将来も非正規」ではなく、「この履歴が均質でない」を意味。

⚠️ 正規仮定は「間違い」ではなく「制約」

正規モデルはマーコウィッツ / シャープ / B-S の礎石。正規からの偏離 ≠ これら理論が無用、ただ制約を理解すべき：

極端事件時に歪む
「リスク」測定の保守度不足
ポートフォリオ最適化が裾事件で崩壊する可能性

これを理解することが「すべての正規モデルを拒否」より重要。

試してみる

銘柄分析 → リスクを開き、「リターン正規性診断」までスクロール
Q-Q プロットの裾偏離と赤点数を観察
skewness / excess kurtosis の実際値と対照
異なる銘柄タイプを比較：大型値嵩 vs 小型投機、両者の JB 差通常大
📐 をクリックして公式、しきい値、データソース確認